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Résolution de Problèmes Hatier Chp 1

 

Résolution de problèmes
Hatier maths Tome 1 – Chap 2

 

Partie 1 : Les divers types de problèmes

 

Apports théoriques :

 

Qu’est ce qu’un problème ?

 

Formuler et résoudre des problèmes constituent l’activité essentielle de tout mathématicien pour qui un problème est toujours une question non résolue et qu’il choisit d’affronter.

 

Les problèmes que traite le mathématicien peuvent être très divers (pratique, scientifiques) et il sert alors à modéliser la situation étudiée en termes mathématiques. Cela peut être également des questions posées à l’intérieur même des maths ou la formulation d’un théorème ou l’apport d’une preuve au moyen d’une démonstration.

 

Les énoncés de ces problèmes peuvent être complexes et compréhensibles que par des spécialistes ou d’autres très lisibles mais cependant non résolus.

 

Définition du problème scolaire par Jean Brun :

 

« Un problème est généralement défini comme une situation initiale, avec un but à atteindre, demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but. Il n’y a de problème, dans un rapport sujet/situation, que si la solution n’est pas disponible d’emblée, mais possible à construire. C’est dire aussi qu’un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur niveau de développement intellectuel par exemple » .

 

Relation entre le problème du mathématicien et de l’élève = recherche d’une solution. Mais il y a 2 aspects différents :

 

-         le problème de l’élève a déjà été résolu et il le sait,

-         le temps de recherche pour l’élève est compté ce qui implique que l’on fournisse parfois la solution même s’il n’a pas trouvé.

 

D’autre part, pour un certain niveau de classe, un énoncé peut être un problème et ne plus l’être pour un autre niveau.

 

De même, le choix des valeurs données à certaines variables peut faire qu’un énoncé soit ou non un problème.

 

 

 

 

 

Des catégories de problèmes

 

 

2.1 Première classification : à partir des formes d’énoncés

 

            ·comment sont fournies les informations ?

 

Dans les manuels, on distingue :

 

-         des énoncés = texte écrit

-         des énoncés avec des tableaux, diagramme…

-         des énoncés avec texte et image

-         des énoncés avec texte et document réel (extrait de tarif, pub…)

-         d’autres formes diverses (à l’oral par ex)

 

Les formes diverses exige des élèves des stratégies de lecture appropriées.

 

 

·Dans quel contexte se situe la situation évoquée ?

 

On distingue 3 types de contextes souvent utilisés pour les énoncés de problèmes à l’école primaire :

 

-         contexte de « vie courante » : ce sont des « problèmes concrets » proposant des activités familières ou de la vie quotidienne des adultes,

-         situations relevant d’autres disciplines(astronomie,géographie…) mais souvent sans aspect interdisciplinaire,

-         contexte purement mathématique(nombres, figures).

 

·Quelles données ? Quelles questions ?

 

Un problème est constitué d’un énoncé suivi d’une ou plusieurs questions et qui comporte toutes les informations nécessaires pour répondre aux questions. Mais selon que les données sont suffisantes ou non, que les questions soient au début ou à la fin de l’énoncé ou qu’il n’y en ait pas du tout, la manière d’approcher le problème peut être différente.

 

® Si question posée au début : l’élève peut anticiper l’importance des infos fournies et les traitements à effectuer.

 

® Si les infos sont insuffisantes pour répondre à la question posée alors l’élève doit d’abord en prendre conscience, rechercher d’autres renseignements, solliciter l’enseignant.

 

® S’il n’y a pas de question, ce sera aux élèves d’en déterminer puis d’y répondre

 

® Les élèves inventent eux-mêmes le problème soit librement, soit sur un thème donné, soit à partir de calculs qui devront servir à résoudre les problèmes construits. Cela permet de mettre en évidence les conceptions des élèves à propos de ce qu’est un problème.

 

 


 

 

2.2 Deuxième classification : à partir des notions mathématiques

 

 

La résolution de problèmes fait intervenir une ou plusieurs notions mathématiques (types de nombres, opérations utilisées, mesures, objets géométriques). On peut donc envisager de classer les problèmes par rapport à ces notions.

 

·La première idée peut être de déterminer, pour chaque, problème, les notions mathématiques qui interviennent dans sa résolution ; ce qui n’est pas toujours facile. Il y a le point de vue de l’expert et celui de l’élève qui n’utiliseront pas les mêmes moyens pour résoudre le problème. D’où la difficulté d’utiliser un tel classement pour les problèmes de recherche ou « problèmes ouverts ».

·Une deuxième idée consiste à considérer une notion et à tenter un inventaire organisé de tous les problèmes que cette notion permet de résoudre. Ce type d’analyse permet de balayer l’espace de problèmes relevant d’une notion donnée et de tenter de les organiser en fonction de leur difficulté relative de manière à en proposer l’apprentissage au moment le plus approprié = étude des notions en terme de « champ conceptuel ». Un champ conceptuel est défini comme « un espace de problèmes ou de situations-problèmes dont le traitement implique des concepts et des procédures de plusieurs types en étroite connexion ».

 

 

2.3 Troisième classification : à partir des objectifs pédagogiques

 

Un enseignant n’utilise pas toujours les problèmes avec la même intention pédagogique. Selon le niveau des élèves, il peut s’agir d’un problème d’application ou de réinvestissement d’une notion connue, d’un problème pour apprendre = problème destiné à permettre l’appropriation par les élèves d’une notion nouvelle, ce type de problème peut alors prendre la forme d’une « situation-problème » ou d’un problème dont l’objectif principal est d’apprendre à chercher = problème ouvert.

 

 

Partie 2 : Problèmes pour chercher : problèmes ouverts

 

Apports théoriques :

 

Terme de « problème ouvert » introduit par une équipe de l’IREM de Lyon qui correspond à faire des essais, conjecturer, tester, prouver.

 

Qu’est-ce qu’un problème ouvert ?

 

Þ caractéristiques du problème ouvert :

 

-         L’énoncé est court,

-         L’énoncé n’induit ni la méthode, ni la solution (pas de questions intermédiaires ni de questions du type « montrer que »)

-         Le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité.

 

Exemple :« Je pense à 2 nombres qui se suivent. Je les additionne, je trouve 23. Quels sont ces 2 nombres ? »

 

Ou « Quel est le plus grand produit de 2 nombres que l’on peut faire en utilisant une fois et une seule les chiffres 1,2,3 …. 9 pour former ces nombres ? »

 

Le problème ouvert renvoie à l’aspect suivant : il s’agit d’abord de chercher une solution originale, personnelle, avec les moyens du bord mais la solution générale n’est pas actuellement envisageable pour les élèves

 

Dans le cas de la situation-problème, il s’agit, à partir d’un problème particulier, d’élaborer une connaissance (notion, procédure…) de portée plus générale et destinée à être institutionnalisée, maîtrisée par chacun.

 

 

Le problème ouvert, pourquoi ?

 

·  Le problème ouvert permet de proposer à l’élève une activité comparable à celle du mathématicien confronté à des problèmes qu’il n’a pas appris à résoudre

 

· Le problème ouvert permet de mettre l’accent sur des objectifs spécifiques, d’ordre méthodologique :essayer, organiser sa démarche, mettre en œuvre une solution originale, en évaluer l’efficacité, formuler des hypothèses et les tester, argumenter à propos de sa solution ou de celle d’un autre….

 

·Le problème ouvert offre une occasion de prendre en compte et d’exploiter les différences entre élèves Þ cela permet l’échange, la confrontation et le débat.

 

· Le problème ouvert permet à l’enseignant de mieux faire connaître aux élèves ses attentes en matière de résolution de problèmes.

 

 

Le problème ouvert, comment ?

 

On peut prévoir 5 phases de mise en œuvre :

 

-         un temps de familiarisation avec le problème ;

-         un temps de recherche individuelle pour s’approprier le problème ;

-         un temps de travail en groupe ;

-         un temps d’échanges et de débat sur les solutions ;

-         un temps de synthèse sur des aspects méthodologiques qui pourront être réinvestis par les élèves.

 

Voici quelques recommandations :

 

· La difficulté ne doit pas résider dans la compréhension de la situation. Il faut donner toutes les indications pour que le problème soit clairement défini et aucune indication qui puisse induire une procédure possible de résolution.

 

· La phase de recherche doit appartenir aux élèves ® intervention limitée de l’enseignant mais rôle d’observation du travail des groupes.

 

· La mise en commun est avant tout une phase d’échanges et de débat autour des solutions proposées par les élèves ® le rôle de l’enseignant est de permettre un véritable échange entre les élèves pour confronter les solutions, les discuter, les défendre, les valider…

 

· La même situation peut être proposée à nouveau aux élèves : situation identique mais avec des nombres différents.

 

Partie 3 : Analyse des difficultés des élèves

 

Utilisation des problèmes «concrets » comme problèmes d’application ou de réinvestissement  mais aussi pour introduire une nouvelle connaissance.

 

Þ cette partie sert à repérer les compétences que les élèves doivent mettre  en œuvre pour résoudre ce genre de problème et d’analyser les difficultés qu’ils peuvent rencontrer et de dégager les pistes d’idées.

 

· Schématisation par étapes de la résolution de problème :

 

 

 

Lecture de l’énoncé

 

¯

 

Recherche d’une procédure

 

¯

 

Instanciation de la procédure

 

¯

 

Exécution de la procédure

 

¯

 

Communication de la réponse

 

 

Une procédure est une suite (ordonnée) d’opérations définie pour un dispositif et une tâche donnés, dont l’exécution a pour objectif de faire passer d’un état initial à un état final ou but.

 

L’ instanciation consiste à appliquer la procédure aux données du problème.

 

L’ exécution consiste à effectuer cette procédure.

 

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